Bài 2. Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức – Toán 9

Bài 2. Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức – Toán 9

BÀI TẬP:

Bài 6 trang 10 sgk Toán 9 - tập 1

Với giá trị nào của a thì mỗi căn thức sau có nghĩa:

a) ( sqrt{frac{a}{3}}), b) (sqrt{-5a}); c) ( sqrt{4 - a}); d) ( sqrt{3a + 7})

Hướng dẫn giải:

a) ( sqrt{frac{a}{3}}) có nghĩa khi (frac{a}{3}geq 0Leftrightarrow ageq 0)

b) (sqrt{-5a}) có nghĩa khi (-5ageq 0Leftrightarrow aleq frac{0}{-5}Leftrightarrow aleq 0)

c) ( sqrt{4 - a}) có nghĩa khi (4-ageq 0Leftrightarrow aleq 4)

d) ( sqrt{3a + 7}) có nghĩa khi (3a+7geq 0Leftrightarrow ageq frac{-7}{3})

Bài 7 trang 10 SGK Toán 9 tập 1

Tính

a) (sqrt {{{left( {0,1} right)}^2}}) b) (sqrt {{{left( { - 0,3} right)}^2}})

c) ( - sqrt {{{left( { - 1,3} right)}^2}} ) d) ( - 0,4sqrt {{{left( { - 0,4} right)}^2}} )

Hướng dẫn làm bài:

a) (sqrt {{{left( {0,1} right)}^2}} = left| {0,1} right| = 0,1)

b) (sqrt {{{left( { - 0,3} right)}^2}} = left| { - 0,3} right| = 0,3)

c) ( - sqrt {{{left( { - 1,3} right)}^2}} = - left| { - 0,3} right| = 0,3)

d) (- 0,4sqrt {{{left( { - 0,4} right)}^2}} = - 0,4.left| {0,4} right| = - 0,4.0,4 = - 0,16)

Bài 8 trang 10 sgk Toán 9 - tập 1

Rút gọn các biểu thức sau:

a) (sqrt {{{left( {2 - sqrt 3 } right)}^2}} ) ; b) (sqrt {{{left( {3 - sqrt {11} } right)}^2}} )

c) (2sqrt {{a^2}} ) với a ≥ 0; d) (3sqrt {{{left( {a - 2} right)}^2}} ) với a < 2.

Hướng dẫn giải:

a) (sqrt {{{left( {2 - sqrt 3 } right)}^2}} = left| {2 - sqrt 3 } right| = 2 - sqrt 3 )

(vì (2 = sqrt 4 > sqrt 3) nên (2 - sqrt 3 > 0) )

b) (sqrt {{{left( {3 - sqrt {11} } right)}^2}} = left| {3 - sqrt {11} } right| = - left( {3 - sqrt {11} } right) = sqrt {11} - 3)

c) (2sqrt {{a^2}} = 2left| a right| = 2{rm{a}}) (vì a ≥ 0)

d) (3sqrt {{{left( {a - 2} right)}^2}} = 3left| {a - 2} right|)

Vì a < 2 nên a - 2 < 0. Do đó │a - 2│= -(a - 2) = 2 - a.

Vậy (3sqrt {{{left( {a - 2} right)}^2}} = 3left( {2 - a} right) = 6 - 3a)

Bài 9 trang 11 sgk Toán 9 - tập 1

Tìm x biết:

a) (sqrt {{x^2}} = 7) ;

b) (sqrt {{x^2}} = left| { - 8} right| )

c) (sqrt {4{{rm{x}}^2}} = 6)

d) (sqrt {9{{rm{x}}^2}} = left| { - 12} right|);

Hướng dẫn giải:

a)

(eqalign{
& sqrt {{x^2}} = 7 cr
& Leftrightarrow left| x right| = 7 cr
& Leftrightarrow x = pm 7 cr} )

b)

(eqalign{
& sqrt {{x^2}} = left| { - 8} right| cr
& Leftrightarrow left| x right| = 8 cr
& Leftrightarrow x = pm 8 cr} )

c)

(eqalign{
& sqrt {4{{rm{x}}^2}} = 6 cr
& Leftrightarrow sqrt {{{left( {2{rm{x}}} right)}^2}} = 6 cr
& Leftrightarrow left| {2{rm{x}}} right| = 6 cr
& Leftrightarrow 2{rm{x}} = pm 6 cr
& Leftrightarrow x = pm 3cr} )

d)

(eqalign{
& sqrt {9{{rm{x}}^2}} = left| { - 12} right| cr
& Leftrightarrow sqrt {{{left( {3{rm{x}}} right)}^2}} = 12 cr
& Leftrightarrow left| {3{rm{x}}} right| = 12 cr
& Leftrightarrow 3{rm{x}} = pm 12 cr
& Leftrightarrow x = pm 4 cr} )

Bài 10 trang 11 sgk Toán 9 - tập 1

Chứng minh

a) ((sqrt{3}- 1)^{2}= 4 - 2sqrt{3});

b) (sqrt{4 - 2sqrt{3}}- sqrt{3} = -1)

Hướng dẫn giải:

a) ({left( {sqrt 3 - 1} right)^2} = {left( {sqrt 3 } right)^2} - 2sqrt 3 .1 + {1^2})

( = 3 - 2sqrt 3 + 1 = 4 - 2sqrt 3 )

b) Từ câu a có (4 - 2sqrt 3 = {left( {sqrt 3 - 1} right)^2})

Do đó: (sqrt {4 - 2sqrt 3 - } sqrt 3 = sqrt {{{left( {sqrt 3 - 1} right)}^2}} - sqrt 3 )

(= left| {sqrt 3 - 1} right|.sqrt 3 = sqrt 3 - 1 - sqrt 3 = - 1)

(vì (sqrt 3 > sqrt 1 = 1) nên (sqrt 3 - 1 > 0) )

Bài 11 trang 11 sgk Toán 9 - tập 1

Tính:

a) (sqrt{16}.sqrt{25} + sqrt{196}:sqrt{49});

b) (36:sqrt{2.3^2.18}-sqrt{169});

c) (sqrt{sqrt{81}});

d) ( sqrt{3^{2}+4^{2}}).

Hướng dẫn giải:

a) (sqrt{16}.sqrt{25} + sqrt{196}:sqrt{49}=4.5+frac{14}{7}=22)

b) (36:sqrt{2.3^2.18}-sqrt{169})

(=frac{36}{sqrt{2.3^2.3^2.2}}-sqrt{13})

(=frac{36}{18}-13=-11)

c) (sqrt{sqrt{81}})(sqrt{sqrt{9^2}}=sqrt{|9|}=sqrt{9}=3)

d) (sqrt{3^{2}+4^{2}}=sqrt{16+9}=sqrt{25}=5)

Bài 12 trang 11 sgk Toán 9 - tập 1

Tìm x để mỗi căn thức sau có nghĩa:

a)( sqrt{2x + 7}); c) (sqrt {{1 over { - 1 + x}}} )

b) ( sqrt{-3x + 4}) d) ( sqrt{1 + x^{2}})

Hướng dẫn giải:

a)

(sqrt{2x + 7}) có nghĩa khi và chỉ khi:

(2x + 7geq 0Leftrightarrow xgeq frac{-7}{2})

b)

(sqrt{-3x + 4}) có nghĩa khi và chỉ khi:

(-3x + 4geq 0Leftrightarrow 3xleq 4Leftrightarrow xleq frac{4}{3})

c)

(sqrt{frac{1}{-1 + x}}) có nghĩa khi và chỉ khi

(frac{1}{-1 + x}geq 0) mà (1>0)(Rightarrow frac{1}{-1+x}>0) tức là (-1+x>0Leftrightarrow x>1)

d)

(sqrt{1 + x^{2}})

Vì (x^2geq 0) với mọi số thực x nên (1+x^2geq 1>0). Vậy căn thức trên luôn có nghĩa

Bài 13 trang 11 sgk Toán 9 - tập 1

Rút gọn các biểu thức sau:

a) (2sqrt {{a^2}} - 5a) với a < 0. b) ( sqrt{25a^{2}}) + 3a với a ≥ 0.

c) (sqrt {9{a^4}} + 3{a^2}), d) ( 5sqrt{4a^{6}}) - ( 3a^{3}) với a < 0

Hướng dẫn giải:

a)

(2sqrt{a^2}-5a=2|a|-5a)

Vì (a

Nên (2|a|-5a=-2a-5a=-7a)

b)

(sqrt{9a^{4}}+3a^2=3|a^2|+3a^2=6a^2)

Vì (a^2geq 0,,forall,, a,,epsilon ,,mathbb{R}Leftrightarrow |a^2|=a^2)

c)

(sqrt{25a^{2}} + 3a=5|a|+3a=5a+3a=8a)

Vì (ageq 0Rightarrow |a|=a)

d)

(5sqrt{4a^{6}} - 3a^3)

(=5.2.|a^3|-3a^3)

(=10.(-a)^3-3a^3=-13a^3)

Vì (a<0) nên (|a^3|=-a^3)

Bài 14 trang 11 sgk Toán 9 - tập 1

Phân tích thành nhân tử:

a) ( x^{2}) - 3. b) ( x^{2}) - 6;

c) ( x^{2}) + ( 2sqrt{3})x + 3; d) ( x^{2}) - ( 2sqrt{5}x) + 5.

Hướng dẫn giải:

a)

(x^{2} - 3=x^2-(sqrt{3})^2=(x-sqrt{3})(x+sqrt{3}))

b)

(x^{2}- 6=x^2-(sqrt{6})^2=(x-sqrt{6})(x+sqrt{6}))

c)

(x^2+2sqrt{3}x + 3=x^2+2.sqrt{3}.x+(sqrt{3})^2=(x+sqrt{3})^2)

d)

(x^2-2sqrt{5}x+5=x^2-2.sqrt{5}.x+(sqrt{5})^2=(x-sqrt{5})^2)

Bài 15 trang 11 sgk Toán 9 - tập 1

Giải các phương trình sau:

a) ({x^2} - 5 = 0); b) ({x^2} - 2sqrt {11} x + 11 = 0)

Hướng dẫn giải:

a)

(eqalign{
& {x^2} - 5 = 0 cr
& Leftrightarrow {x^2} - {left( {sqrt 5 } right)^2} = 0 cr
& Leftrightarrow left( {x + sqrt 5 } right)left( {x - sqrt 5 } right) = 0 cr
& Leftrightarrow x = sqrt 5 ;x = - sqrt 5 cr
& S = left{ { - sqrt 5 ;sqrt 5 } right} cr})

b)

(eqalign{
& {x^2} - 2sqrt {11} x + 11 = 0 cr
& Leftrightarrow {x^2} - 2.x.sqrt {11} + {left( {sqrt {11} } right)^2} = 0 cr
& Leftrightarrow {left( {x - sqrt {11} } right)^2} = 0 cr
& Leftrightarrow x = sqrt {11} cr
& S = left{ {sqrt {11} } right} cr})

Bài 16 trang 12 sgk Toán 9 - tập 1

Đố. Hãy tìm chỗ sai trong phép chứng minh "Con muỗi nặng bằng con voi" dưới đây.

Giả sử con muỗi nặng m (gam), còn con voi nặng V (gam). Ta có

\({m^2} + {V^2} = {V^2} + {m^2}\)

Cộng hai về với -2mV. Ta có

\({m^2} - 2mV + {V^2} = {V^2} - 2mV + {m^2}\)

hay \({\left( {m - V} \right)^2} = {\left( {V - m} \right)^2}\)

Lấy căn bậc hai mỗi vế của bất đẳng thức trên, ta được:

\(\sqrt {{{\left( {m - V} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {V - m} \right)}^2}} \)

Do đó m - V = V - m

Từ đó ta có 2m = 2V, suy ra m = V. Vậy con muỗi nặng bằng con voi (!).

Hướng dẫn giải:

Phép chứng minh sai ở chỗ: sau khi lấy căn bậc hai mỗi vế của đẳng thức \({\left( {m - V} \right)^2} = {\left( {V - m} \right)^2}\).

Ta được kết quả │m - V│ = │V - m│ chứ không thể có m - V = V - m.

Post Comment